7 级数

有一个无穷序列：  如果所有前n项之和Sn满足：   说明这个无穷级数是收敛的，不满足这个性质的级数是发散的。级数的收敛性是一个很重要

有一个无穷序列：

如果所有前n项之和Sn满足：

说明这个无穷级数是收敛的，不满足这个性质的级数是发散的。级数的收敛性是一个很重要的性质，如果级数收敛，那么在可接受的精度下，只需要写出前n项就可以近似表示该数列，而高等函数一般可以展开成一个无限的级数，一般物理所使用的展开就近似到前一项到前两项，后续也主要考虑如何判定一个级数是收敛的。

一个很经典的例子，调和级数：

这个级数是发散的。

柯西判别法

若正项级数

自某项起，其一般项满足不等式

q不依赖于n，这个级数是收敛的

达朗贝尔判别法

若级数自某项起满足：

q不依赖于n，这个级数是收敛的

级数 是收敛的,因为：

有时候，上述判别法无法判断级数是否收敛，因此需引入下述判别法

枯莫尔判别法

设有正项级数

若可以构造一个这样的正项级数

使得

a是不依赖于n的正数，则级数收敛。

高斯判别法

设有正项级数

比 可以表示成

其中 时级数收敛。

绝对收敛级数

若级数 收敛，则称级数 绝对收敛。

由级数的收敛性质，可以得到很有用的泰勒公式

考虑f(x)自变量有一个增量h，可以用h的多项式表示，这个概念不是那么直观也比较重要，做如下阐述，如果h是无穷小量，那么f'(x)*h就与f(x+h)-f(x)相差一个h的高级无穷小量，现在增加h，在一定的精度可接受范围内，h的一次函数就满足了拟合的需求；继续增加h，这时函数的的差值就出现了偏差，我们可以在中间插入f(x+h/2)修正拟合效果，换算成h的形式就出现了三个未知数，拟合就出现了h平方项，这个修正值可以使得拟合达到所需的精度要求；随着h继续增大，可以利用类似的方法进行进一步修正，也就是f(x+h)-f(x)可以插入任意多个点做线性拟合，也就是展开成h的多项式表达。

现做代换，x=a,x+h=x:

当x=a时， ，对上式两边求导，继续带入x=a，得：

以此类推，f(x)在a点得展开为：

如果要进行误差估计，上式还需要增加一个余项：

上面就是泰勒公式。如果h是一个无穷小量，现可以写出 的泰勒展开形式：

当自变量a取为0时，泰勒公式可以写成：

这叫麦克劳林公式，利用麦克劳林公式，可以得到一些常用函数的展开形式：

之前已经说过，物理学上利用麦克劳林展开一般用到1-2项，一些常用的展开罗列如下：

下面举例说明泰勒展开的应用，求：

超越几何级数

上述级数的展开有些有共同的规律，为此，数学家发展了一种级数形式叫超越几何级数

利用高斯判别法，可知

时，F收敛；x=1时，当 时，F绝对收敛；x=-1时，当 时，F绝对收敛，且当 时，F收敛。

那么