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高等数学上册知识点

一、函数与极限

（一）函数

1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；

2、反函数、复合函数、函数的运算：

3、初等函数：冢函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；

4、函数的连续性与间断点；（重点）

lim/(x)=f(x)

函数f(x)在连续°x

第一类：左右极限均存在.

间断点

可去间断点、跳跃间断点

第二类：左右极限、至少有一个不存在.

无穷间断点、振荡间断点

5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理（重点）、介值定理及其推论.

（二）极限

1、定义

1)数列极限

!imx.=a <c>0. 3Ne

3NeN,Vn>N.x.-a|<s

2)函数极限

!imf(x)=A=g>0,0,38＞0， Vx，当0＜｜x-x．｜＜8时，｜f（x）-A＜ε

左极限：

右极限：

()/=(e)

＝目

（2）／里＝（w）

limf(x)=A

存在

f(x%)=f(x%)

2、极限存在准则

1)夹遇准则：

1)yn≤x,≤z

2)

2)单调有界准则：单调有界数列必有极限.

3、无穷小（大）量

ma=0

1)定义：若lima=0则称为无穷若lim则称为无穷大量.

2)无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小Th1

α~β=β=α+o(α);

Th2存在，则（无穷小代换）a~a.β~B'.lim/

=

4、求极限的方法

1)单调有界准则：

2)夹遇准则；

3)极限运算准则及函数连续性；

4)两个重要极限：（重点）

)!im(a+x)"= !m(1+/)"=

lin sinx=1a)

5)无穷小代换：（x→0）（重点）

a) x~sinx~tanx~arcsin x~arctan.x

b)1-c0sx-1/2x2

c) e'-1~x

(a'-1~xIna)

(10g。(1+x)-1/0)

In(1+x)~xd)In(1+

(1+x)"-1~ax

二、导数与微分

（一）导数

f(x)=!im/(0)-/(x)定义：

f.(xo)=im(0)-/(5)

左导数：

f.()=im/(0)-/()

右导数：

函数

f（x）在Xo点

点可导

f'(x%)=f'(x%)

y＝f（x）在点（xo，f（x，））

2、几何意义：为曲线处的切线的斜率。(x),/

3、可导与连续的关系：

4、求导的方法

1）导数定义：（重点）

2）基本公式；

3）四则运算；

4）复合函数求导（链式法则）；（重点）

5）隐函数求导数；（重点）

6）参数方程求导；（重点）

7）对数求导法．（重点）

5、高阶导数

)=/1)定义：

(m)"={cu"y"2） Leibniz公式：

（二）微分

1)定义：Δy＝f（x。 ＋Δr）- f（x，）＝ AΔr＋o（Δr），，其中A与Ar无关.

2）可微与可导的关系：可微可导，

且dy＝ f＇（x，）Ar＝ f＇（x，）dx

三、微分中值定理与导数的应用

（一）中值定理

x)/1、Rolle定理：（重点）若函数（x）满足：

1)f(x)eC[a,b];

2)f(x)E)eD(a,b);

)f(a)=f(b);

则3ξE（a，b），使／

'(ξ)=0.

2、Lagrange 中值定理：若函数f(x)满足：

1)f(x)eC[a,b];

f(x)e D(a,b);

则3ξ€（a，b），使／

(b)- f(a)= f'(ξ)(b-a).

f(x),F(x)

3、Cauchy 中值定理：若函数满足：

1) f(x).F(x)EC[a,b];

F'(x)≠0,xE(a,b)

: 2) f(x), F(x) є D(a,b);3)F(x)≠0,xE(a,b

则3ξ€（a，b），使

d=()d-(9)1

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柯柯学姐